Conjugate Fourier series on certain solenoids

Abstract

We consider an arbitrary noncyclic subgroup of the additive group<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper Q"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {Q}}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>of rational numbers, denoted by<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper Q Subscript bold a"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">a</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{{\mathbf {Q}}_{\mathbf {a}}}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, and its compact character group<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Sigma Subscript bold a"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Σ<!-- Σ --></mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">a</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Sigma _{\mathbf {a}}}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. For<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 greater-than p greater-than normal infinity"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">1 &gt; p &gt; \infty</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, an abstract form of Marcel Riesz’s theorem on conjugate series is known. For<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"><mml:semantics><mml:mi>f</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>in<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German upper L Subscript p Baseline left-parenthesis normal upper Sigma Subscript bold a Baseline right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="fraktur">L</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Σ<!-- Σ --></mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">a</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathfrak {L}_p}({\Sigma _{\mathbf {a}}})</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, there is a function<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f overTilde"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~<!-- ~ --></mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\tilde {f}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>in<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German upper L Subscript p Baseline left-parenthesis normal upper Sigma Subscript bold a Baseline right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="fraktur">L</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Σ<!-- Σ --></mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">a</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathfrak {L}_p}({\Sigma _{\mathbf {a}}})</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>whose Fourier transform<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis f overTilde right-parenthesis Superscript ModifyingAbove With caret Baseline left-parenthesis alpha right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~<!-- ~ --></mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mrow /><mml:mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α<!-- α --></mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">(\tilde {f})^{\hat {}}(\alpha )</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>at<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"><mml:semantics><mml:mi>α<!-- α --></mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>in<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper Q Subscript bold a"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">Q</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">a</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{{\mathbf {Q}}_{\mathbf {a}}}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>is<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus i s g n alpha ModifyingAbove f With caret left-parenthesis alpha right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mo>−<!-- − --></mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mspace width="thinmathspace" /><mml:mi>sgn</mml:mi><mml:mspace width="thinmathspace" /><mml:mi>α<!-- α --></mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α<!-- α --></mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">- i\,\operatorname {sgn}\,\alpha \hat {f}(\alpha )</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>. We show in this paper how to construct<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f overTilde"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">~<!-- ~ --></mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\tilde {f}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>explicitly as a pointwise limit almost everywhere on<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Sigma Subscript bold a"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:msub><mml:mi mathvariant="normal">Σ<!-- Σ --></mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="bold">a</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Sigma _{\mathbf {a}}}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>of certain harmonic functions, as was done by Riesz for the circle group. Some extensions of this result are also presented.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF