Lower bounds for the zeros of Bessel functions

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j Subscript p comma n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{j_{p,n}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote the <italic>n</italic>th positive zero of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript p Baseline comma p greater-than-or-slanted-equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{J_p},p \geqslant 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j Subscript p comma n Baseline greater-than-or-slanted-equals left-parenthesis j Subscript 0 comma n Superscript 2 Baseline plus p squared right-parenthesis Superscript 1 slash 2 Baseline period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msubsup> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{j_{p,n}} \geqslant {( {j_{0,n}^2 + {p^2}} )^{1/2}}.</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula>

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF