Approximate Closed-Form Formulas for the Zeros of the Bessel Polynomials
Approximate Closed-Form Formulas for the Zeros of the Bessel Polynomials
We find approximate expressions<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>̃</mml:mo></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>̃</mml:mo></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>for the real and imaginary parts of the<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:math>th zero<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>of the Bessel polynomial<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. To obtain these closed-form formulas we use the fact that the points of well-defined curves in the …