Topological Regularity for Solutions to the Generalised Hopf Equation

Abstract

Abstract The generalised Hopf equation is the first order nonlinear equation defined on a planar domain $$\Omega \subset {\mathbb {C}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow></mml:math> , with data $$\Phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Φ</mml:mi></mml:math> a holomorphic function and $$\eta \ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> a positive weight on $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:math> , $$\begin{aligned} h_w\,\overline{h_{\overline{w}}}\,\eta (w) = \Phi . \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>w</mml:mi></mml:msub><mml:mspace /><mml:mover><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mover><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:msub><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mspace /><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Φ</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> The Hopf equation is the special case $$\eta (w)={\tilde{\eta }}(h(w))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> and reflects that h is harmonic with respect to the conformal metric $$\sqrt{{\tilde{\eta }}(z)}|dz|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mover><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> , usually $$\eta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>η</mml:mi></mml:math> is the hyperbolic metric. This article obtains conditions on the data to ensure that a solution is open and discrete. We also prove a strong uniqueness result.

Locations

• Complex Analysis and Operator Theory - View - PDF