Type: Article
Publication Date: 2020-06-18
Citations: 3
DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-020-02439-0
Abstract Let $T_{a,\varphi }$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> be a Fourier integral operator with symbol a and phase φ . In this paper, under the conditions $a(x,\xi )\in L^{\infty }S^{n(\rho -1)/2}_{\rho }(\omega )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> and $\varphi \in L^{\infty }\varPhi ^{2}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mi>Φ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:math> , the authors show that $T_{a,\varphi }$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> is bounded from $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> to $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> .