Weak Estimates of Singular Integrals with Variable Kernel and Fractional Differentiation on Morrey-Herz Spaces

Abstract

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:math> be the singular integral operator with variable kernel defined by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>p.v.</mml:mtext><mml:mrow><mml:msub><mml:mo stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> and let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> be the fractional differentiation operator. Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>⁎</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">♯</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> be the adjoint of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and the pseudoadjoint of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, respectively. In this paper, the authors prove that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mi>T</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>T</mml:mi></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>⁎</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">♯</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math> are bounded, respectively, from Morrey-Herz spaces <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mi>M</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> to the weak Morrey-Herz spaces <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mi>W</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> by using the spherical harmonic decomposition. Furthermore, several norm inequalities for the product <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math> and the pseudoproduct <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∘</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math> are also given.

Locations

• Journal of Function Spaces - View - PDF
• DOAJ (DOAJ: Directory of Open Access Journals) - View