Étude de certaines représentations induites d'un groupe de Lie résoluble exponentiel

Abstract

Soient g une algèbre de Lie réelle niipotente et G le groupe de Lie réel simplement connexe d'algèbre de Lie g.Kirillov a montré qu'il existe une correspondance bijective entre l'espace g*/G des orbites de G agissant par la représentation coadj ointe dans l'espace dual g* de g et l'espace G des classes de représentations unitaires irréductibles de G [6].Les résultats de Kirillov qui conduisent à cette correspondance sont les suivants :A. Toute représentation unitaire irréductible de G peut s'obtenir par induction d'un caractère % d'un sous-groupe H fermé connexe de G; soit alors t) l'algèbre de Lie de H et f le caractère de l'algèbre de Lie 1) défini par d'y == if (on a donc /'[(), 1)]) = o).Désignons encore par f une forme linéaire sur g prolongeant f sur t), et soit B^ la forme bilinéaire alternée sur g définie par B/(X, Y) ==/*([X, Y]).Alors 1) est un sous-espace totalement isotrope maximal pour la forme B^.B. Pour toute jfeg*, notons M(/*; g) l'ensemble de sous-algèbres 1) de g dont le sous-espace vectoriel sous-jacent soit totalement isotrope maximal pour la forme B/; et si l)€M(/*;g) notons p(f;t);g) la représentation induite à G par le caractère yj^ du groupe analytique H d'algèbre de Lie t) dont la différentielle c?^,i) est if\^.Soit /*€g*, alors il existe un t) appartenant à M(/*; g).La représentation p (/*; t) ; g) est irréductible et ne dépend pas de la sous-algèbre t) choisie.

Locations

• Annales Scientifiques de l École Normale Supérieure - View - PDF