Homology cobordisms, link concordances, and hyperbolic 3-manifolds

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M 0 cubed"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_0^3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M 1 cubed"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_1^3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be compact, oriented <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-manifolds. They are <italic>homology cobordant</italic> (respectively <italic>relative homology cobordant</italic>) if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential upper M 1 cubed equals normal empty-set left-parenthesis resp period partial-differential upper M 1 cubed not-equals normal empty-set right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∅<!-- ∅ --></mml:mi> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>resp.</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>≠<!-- ≠ --></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∅<!-- ∅ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial M_1^3 = \emptyset \;({\text {resp.}}\;\partial M_1^3 \ne \emptyset )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and there is a smooth, compact oriented <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="4"> <mml:semantics> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-manifold <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W Superscript 4"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{W^4}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential upper W Superscript 4 Baseline equals upper M 0 cubed minus upper M 1 cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial {W^4} = M_0^3 - M_1^3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (resp. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential upper W Superscript 4 Baseline equals upper M 0 cubed minus upper M 1 cubed right-parenthesis union left-parenthesis upper M Subscript i Superscript 3 Baseline times left-bracket 0 comma 1 right-bracket right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∪<!-- ∪ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial {W^4} = M_0^3 - M_1^3) \cup (M_i^3 \times [0,1])</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript asterisk Baseline left-parenthesis upper M Subscript i Superscript 3 Baseline semicolon bold upper Z right-parenthesis right-arrow upper H Subscript asterisk Baseline left-parenthesis upper W Superscript 4 Baseline semicolon bold upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H_{\ast }}(M_i^3;{\mathbf {Z}}) \to {H_{\ast }}({W^4};{\mathbf {Z}})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are isomorphisms, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i equals 0 comma 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">i = 0,1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Theorem. <italic>Every closed, oriented</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-<italic>manifold is homology cobordant to a hyperbolic</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-<italic>manifold</italic>. Theorem. <italic>Every compact, oriented</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-<italic>manifold whose boundary is nonempty and contains no</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-<italic>spheres is relative homology cobordant to a hyperbolic</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-<italic>manifold</italic>. Two oriented links <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-manifold <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{M^3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are <italic>concordant</italic> if there is a set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A squared"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of smooth, disjoint, oriented annuli in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M times left-bracket 0 comma 1 right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M \times [0,1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential upper A squared equals upper L 0 minus upper L 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial {A^2} = {L_0} - {L_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript i Baseline subset-of-or-equal-to upper M cubed times StartSet i EndSet comma i equals 0 comma 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⊆<!-- ⊆ --></mml:mo> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L_{i}} \subseteq \;{M^3} \times \{ i\} ,i = 0,1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Theorem. <italic>Every link in a compact, oriented</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-<italic>manifold</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{M^3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>whose boundary contains no</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-<italic>spheres is concordant to a link whose exterior is hyperbolic</italic>. Corollary. <italic>Every knot in</italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{S^3}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>is concordant to a knot whose exterior is hyperbolic</italic>.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF