Polynomials of 2-cable-like links

Abstract

Morton and Short [<bold>MS</bold>] have established experimentally that two knots <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> may have the same <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-variable polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P left-parenthesis l comma m right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P(l,m)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (see [<bold>FYHLMO</bold>], [<bold>LM</bold>]) while <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-cables on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> can be distinguished by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We prove here that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are a mutant pair, then their <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-cables and doubles (and other satellites which are <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-stranded on the boundary of the mutating tangle) cannot be distinguished by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Similar results are true for the unoriented knot polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q"> <mml:semantics> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and its oriented two-variable counterpart <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (see [<bold>BLM</bold>], [<bold>K</bold>]). The results are false if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K 1 comma upper K 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{K_1},{K_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are links of more than one component.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF