Group actions on aspherical 𝐴_{𝑘}(𝑁)-manifolds with nonzero Euler characteristics

Abstract

By an aspherical <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript k Baseline left-parenthesis upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A_k}(N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-manifold, we mean a compact manifold <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> together with a map <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into an aspherical complex <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{f^*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>: <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript k Baseline left-parenthesis upper N semicolon upper Q right-parenthesis right-arrow upper H Superscript k Baseline left-parenthesis upper M semicolon upper Q right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{H^k}(N;Q) \to {H^k}(M;Q)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is nontrivial. In this paper we study the fixed point set, degree of symmetry, semisimple degree of symmetry and torus degree of symmetry of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with the Euler characteristic of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> nonzero.

Locations

• Proceedings of the American Mathematical Society - View - PDF