Isopérimétrie, décroissance du noyau de la chaleur et transformations de Riesz: un contre-exemple

Abstract

Si M est une vari6t6 riemannienne complete non compacte, il est maintenant bien connu que l'in~galit6 isop~rim6trique I AI (N1)/N 0 , off Pt est le noyau de la chaleur sur M ([17], voir aussi [6]). Une r6ciproque partielle ~ ce r6sultat est annonc~e dans [20]: si M est ~ g~om6trie born6e (par exemple courbure de Ricci minor6e et ~ rayon d'injectivit~ positif), et si sup~,ycMPt(X , y )= O(t--N/2), t--+~-O0 (dans cette situation on a de toute fa~on sup~,yeMPt(X,y)= O(t--(dimM)/2), t-*O), alors IAI(N'-I)/N'<CIOAI, si d i m M < N ' < N / 2 . Les hypotheses de g6om~trie born~e sont naturelles, et la restriction dim M<_N' peut ~tre lev6e (cf. w 2), si l 'on consid~re une in6galit6 isop6rim~trique convenablement localis~e ~ l'infini comme dans [4], [5]. Mais l 'on s 'at tend k ce que la condition Y ' < g / 2 puisse 6tre remplac~e par N ' < N , comme c'est le cas en courbure de Ricci positive ou nulle ([18, w 5], voir aussi [9]). Notre but est de montrer qu'il n'en est rien, et plus pr~cis6ment de prouver le

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