Type: Article
Publication Date: 2014-01-01
Citations: 146
DOI: https://doi.org/10.1155/2014/401816
Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:math>be fixed coprime odd positive integers with<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mtext>m</mml:mtext><mml:mtext>i</mml:mtext><mml:mtext>n</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>. In this paper, a classification of all positive integer solutions<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>of the equation<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>is given. Further, by an elementary approach, we prove that if<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:math>, then the equation has only the positive integer solution<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1,1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, except for<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>89,13,1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2,2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is a positive integer with<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:math>.