Extension of Fourier 𝐿^{𝑝}—𝐿^{𝑞} multipliers

Abstract

By <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript p Superscript q Baseline left-parenthesis normal upper Gamma right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_p^q(\Gamma )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we denote the space of Fourier <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript p Baseline minus upper L Superscript q"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^p} - {L^q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> multipliers on the LCA group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. K. de Leeuw [4] (for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma equals upper R Superscript a"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Gamma = {R^a}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>), <italic>N</italic>. Lohoué [16] and S. Saeki [19] have shown that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Gamma _0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a closed subgroup of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a continuous function in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript p Superscript p Baseline left-parenthesis normal upper Gamma right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_p^p(\Gamma )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then the restriction <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\phi _0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Gamma _0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript p Superscript p Baseline left-parenthesis normal upper Gamma 0 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_p^p({\Gamma _0})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar phi 0 double-vertical-bar Subscript upper M Sub Subscript p Sub Superscript p Baseline less-than-or-slanted-equals double-vertical-bar phi double-vertical-bar Subscript upper M Sub Subscript p Sub Superscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\left \| {{\phi _0}} \right \|_{M_p^p}} \leqslant {\left \| \phi \right \|_{M_p^p}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We answer here a natural question arising from this result: we show that every continuous function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="psi"> <mml:semantics> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\psi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript p Superscript p Baseline left-parenthesis normal upper Gamma right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_p^p(\Gamma )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the restriction to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Gamma _0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a continuous <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript p Superscript p Baseline left-parenthesis normal upper Gamma right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_p^p(\Gamma )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> function whose norm is the same as that of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="psi"> <mml:semantics> <mml:mi>ψ<!-- ψ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\psi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. A Figà-Talamanca and G. I. Gaudry [8] proved this with the extra condition that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Gamma _0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be discrete: our technique develops their ideas. An extension theorem for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript p Superscript q Baseline left-parenthesis normal upper Gamma 0 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_p^q({\Gamma _0})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is obtained: this complements work of Gaudry [11] on restrictions of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript p Superscript q Baseline left-parenthesis normal upper Gamma right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_p^q(\Gamma )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-functions to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Gamma 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\Gamma _0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Locations

• Transactions of the American Mathematical Society - View - PDF