On the exponential diophantine equation $$U_{n}^x+U_{n+1}^x=U_m$$
On the exponential diophantine equation $$U_{n}^x+U_{n+1}^x=U_m$$
Abstract Let $$ \{U_n\}_{n\ge 0} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> be the Lucas sequence. For integers x , n and m , we find all solutions to $$U_{n}^x+U_{n+1}^x=U_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> …