Estimation of a likelihood ratio ordered family of distributions
Estimation of a likelihood ratio ordered family of distributions
Abstract Consider bivariate observations $$(X_1,Y_1), \ldots , (X_n,Y_n) \in {\mathbb {R}}\times {\mathbb {R}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:math> with unknown conditional distributions $$Q_x$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub></mml:math> of Y , given that $$X = x$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:math> . The goal is to estimate these distributions under the sole assumption that $$Q_x$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub></mml:math> is isotonic …