Optimal Gagliardo–Nirenberg interpolation inequality for rearrangement invariant spaces
Optimal Gagliardo–Nirenberg interpolation inequality for rearrangement invariant spaces
Abstract We prove the optimality of the Gagliardo–Nirenberg inequality: $$\begin{aligned} \Vert \nabla u\Vert _{X}\lesssim \Vert \nabla ^2 u\Vert _Y^{1/2}\Vert u\Vert _Z^{1/2}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>≲</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> …