Topological Properties of Weighted Composition Operators in Sequence Spaces
Topological Properties of Weighted Composition Operators in Sequence Spaces
Abstract For fixed sequences $$u = (u_i)_{i\in {{\mathbb {N}}}}, \varphi =(\varphi _i)_{i\in {{\mathbb {N}}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math> , we consider the weighted composition operator $$W_{u,\varphi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>W</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> with symbols $$u, \varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> defined by $$x=(x_i)_{i\in {{\mathbb {N}}}}\mapsto u(x\circ \varphi )= (u_ix_{\varphi _i})_{i\in {{\mathbb {N}}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>↦</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∘</mml:mo><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:msub><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math> . We …