Common Values of Padovan and Perrin Sequences
Common Values of Padovan and Perrin Sequences
Abstract The integer sequence defined by $$P_{n+3}=P_{n+1}+P_{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> with initial conditions $$P_{0}=P_{1}=P_{2}=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> is known as the Padovan sequence $$(P_{n})_{n\in \mathbb {Z}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> . The Perrin sequence $$(R_{m})_{m\in \mathbb {Z}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> satisfies the same recurrence equation as the Padovan sequence but with starting values $$R_{0}=3$$ <mml:math …