Density theorems for $${\textrm{GL}}(n)$$
Density theorems for $${\textrm{GL}}(n)$$
Abstract Strong bounds—going beyond Sarnak’s density hypothesis—are obtained for the number of automorphic forms for the group $$\Gamma _0(q) \subseteq \textrm{SL}(n, {\mathbb {Z}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:mtext>SL</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> violating the Ramanujan conjecture …