Behavior of Kreiss bounded $$C_0$$-semigroups on a Hilbert space
Behavior of Kreiss bounded $$C_0$$-semigroups on a Hilbert space
Abstract We prove that a Kreiss bounded $$C_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:math> semigroup $$(T_t)_{t \ge 0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math> on a Hilbert space has asymptotics $$\left\| T_t\right\| = {\mathcal{O}}\big (t/\sqrt{\log (t)}\big ).$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>O</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mo>log</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math> Then, we give an application to perturbed wave equation.