Log-concavity of infinite product generating functions
Log-concavity of infinite product generating functions
Abstract In the 1970s Nicolas proved that the coefficients $$p_d(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> defined by the generating function $$\begin{aligned} \sum _{n=0}^{\infty } p_d(n) \, q^n = \prod _{n=1}^{\infty } \left( 1- q^n\right) ^{-n^{d-1}} \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace /><mml:msup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∏</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:munderover><mml:msup><mml:mfenced><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>n</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> are log-concave for $$d=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> . Recently, Ono, Pujahari, and Rolen have extended …