Multiplicity and concentration behaviour of solutions for a fractional Choquard equation with critical growth
Multiplicity and concentration behaviour of solutions for a fractional Choquard equation with critical growth
Abstract In this paper, we study the singularly perturbed fractional Choquard equation <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><m:msup><m:mi>ε</m:mi><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mn>2</m:mn><m:mi>s</m:mi></m:mrow></m:msup><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mo>−</m:mo><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">Δ</m:mi></m:mrow><m:msup><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mi>s</m:mi></m:msup><m:mi>u</m:mi><m:mo>+</m:mo><m:mi>V</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mi>u</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:msup><m:mi>ε</m:mi><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mi>μ</m:mi><m:mo>−</m:mo><m:mn>3</m:mn></m:mrow></m:msup><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:munder><m:mo>∫</m:mo><m:mrow><m:msup><m:mrow><m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi></m:mrow><m:mn>3</m:mn></m:msup></m:mrow></m:munder><m:mfrac><m:mrow><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mo stretchy="false">|</m:mo></m:mrow><m:mi>u</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>y</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:msup><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mo stretchy="false">|</m:mo></m:mrow><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:msubsup><m:mn>2</m:mn><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mi>μ</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mi>s</m:mi></m:mrow><m:mo>∗</m:mo></m:msubsup></m:mrow></m:msup><m:mo>+</m:mo><m:mi>F</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>u</m:mi><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>y</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mrow><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mo stretchy="false">|</m:mo></m:mrow><m:mi>x</m:mi><m:mo>−</m:mo><m:mi>y</m:mi><m:msup><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mo stretchy="false">|</m:mo></m:mrow><m:mi>μ</m:mi></m:msup></m:mrow></m:mfrac><m:mi>d</m:mi><m:mi>y</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mo stretchy="false">|</m:mo></m:mrow><m:mi>u</m:mi><m:msup><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mo stretchy="false">|</m:mo></m:mrow><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:msubsup><m:mn>2</m:mn><m:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><m:mi>μ</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mi>s</m:mi></m:mrow><m:mo>∗</m:mo></m:msubsup><m:mo>−</m:mo><m:mn>2</m:mn></m:mrow></m:msup><m:mi>u</m:mi><m:mo>+</m:mo><m:mfrac><m:mn>1</m:mn><m:msubsup><m:mn>2</m:mn><m:mrow …