Central values of L-functions of cubic twists
Central values of L-functions of cubic twists
Abstract We are interested in finding for which positive integers D we have rational solutions for the equation $$x^3+y^3=D.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math> The aim of this paper is to compute the value of the L -function $$L(E_D, 1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> for the elliptic curves $$E_D: x^3+y^3=D$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math> . For the …