On Generalized Arakawa–Kaneko Zeta Functions with Parameters a,b,c
On Generalized Arakawa–Kaneko Zeta Functions with Parameters a,b,c
For <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>ℤ</mml:mi></mml:math>, the generalized Arakawa–Kaneko zeta functions with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>a</mml:mi></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>c</mml:mi></mml:math> parameters are given by the Laplace-Mellin integral <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mstyle displaystyle="true"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext>Li</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>/</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mstyle><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi></mml:math>, …