The Multibases of Symmetric Caterpillars
The Multibases of Symmetric Caterpillars
For a set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>W</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math> of vertices and a vertex <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>v</mml:mi></mml:math> of a connected graph <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>G</mml:mi></mml:math>, the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>-multiset <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced open="|" close="" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math>, where …