Multiplicity and concentration of solutions to the nonlinear magnetic Schrödinger equation
Multiplicity and concentration of solutions to the nonlinear magnetic Schrödinger equation
Abstract In this paper, we study the following nonlinear magnetic Schrödinger equation $$\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned}&\Big (\frac{\varepsilon }{i}\nabla -A(x)\Big )^{2}u+V(x)u=f(|u|^{2})u \quad \hbox {in }{\mathbb {R}}^N\ (N\ge 2),\\&u\in H^{1}({\mathbb {R}}^{N}, {\mathbb {C}}), \end{aligned} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfenced><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd /><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mfrac><mml:mi>∇</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mspace /><mml:mtext>in</mml:mtext><mml:mspace /></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mspace /><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where $$\epsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math> is a positive parameter, and …