Finite time blow-up for the nonlinear Schrödinger equation in trapped dipolar quantum gases with arbitrarily positive initial energy
Finite time blow-up for the nonlinear Schrödinger equation in trapped dipolar quantum gases with arbitrarily positive initial energy
Abstract In this paper, we study the blow-up criterion for the following nonlinear Schrödinger equation arising in trapped dipolar quantum gases: $$i\partial _{t}u=-\frac{1}{2}\Delta u+a^{2} \bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \bigr)u+ \lambda _{1} \vert u \vert ^{2}u+\lambda _{2}\bigl(K\ast \vert u \vert ^{2}\bigr)u,\quad (t,x) \in \bigl[0,T^{*}\bigr) \times \mathbb{R}^{3}. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>i</mml:mi><mml:msub><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:math> When $a=0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> …