Arithmetic properties derived from coefficients of certain eta quotients
Arithmetic properties derived from coefficients of certain eta quotients
Abstract For a positive integer k , let $$ F (q)^{k}:= \prod_{n \geq 1} \frac{(1-q^{n})^{4k}}{(1+q^{2n})^{2k}} = \sum_{n\geq 0} \frak{a}_{k} (n)q^{n} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>F</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo>∏</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munder><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math> be the eta quotients. The coefficients $\frak{a}_{1} (n)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> can be interpreted as a certain kind of restricted divisor sums. In this paper, we give the …