Regular Versus Singular Solutions in a Quasilinear Indefinite Problem with an Asymptotically Linear Potential
Regular Versus Singular Solutions in a Quasilinear Indefinite Problem with an Asymptotically Linear Potential
Abstract The aim of this paper is analyzing the positive solutions of the quasilinear problem <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mrow><m:mrow><m:mrow><m:mo>-</m:mo><m:msup><m:mrow><m:mo maxsize="120%" minsize="120%">(</m:mo><m:mrow><m:msup><m:mi>u</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mo>/</m:mo><m:msqrt><m:mrow><m:mn>1</m:mn><m:mo>+</m:mo><m:msup><m:mrow><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:msup><m:mi>u</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mn>2</m:mn></m:msup></m:mrow></m:msqrt></m:mrow><m:mo maxsize="120%" minsize="120%">)</m:mo></m:mrow><m:mo>′</m:mo></m:msup></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mrow><m:mrow><m:mi>λ</m:mi><m:mo></m:mo><m:mi>a</m:mi><m:mo></m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow><m:mo></m:mo><m:mi>f</m:mi><m:mo></m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mi>u</m:mi><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo mathvariant="italic" separator="true"> </m:mo><m:mrow><m:mtext>in </m:mtext><m:mo></m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mn>0</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mn>1</m:mn><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mrow></m:mrow><m:mo rspace="22.5pt">,</m:mo><m:mrow><m:mrow><m:mrow><m:msup><m:mi>u</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mo></m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mn>0</m:mn><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow><m:mo rspace="12.5pt">,</m:mo><m:mrow><m:mrow><m:msup><m:mi>u</m:mi><m:mo>′</m:mo></m:msup><m:mo></m:mo><m:mrow><m:mo stretchy="false">(</m:mo><m:mn>1</m:mn><m:mo stretchy="false">)</m:mo></m:mrow></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mrow></m:mrow></m:mrow><m:mo>,</m:mo></m:mrow></m:math> -\bigl{(}u^{\prime}/\sqrt{1+(u^{\prime})^{2}}\big{)}^{\prime}=\lambda a(x)f(u)% \quad\text{in }(0,1),\qquad u^{\prime}(0)=0,\quad u^{\prime}(1)=0, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>λ</m:mi><m:mo>∈</m:mo><m:mi>ℝ</m:mi></m:mrow></m:math> {\lambda\in\mathbb{R}} is …