Infinitely many high energy solutions for fractional Schrödinger equations with magnetic field
Infinitely many high energy solutions for fractional Schrödinger equations with magnetic field
Abstract In this paper we investigate the existence of infinitely many solutions for nonlocal Schrödinger equation involving a magnetic potential $$ (-\triangle )_{A}^{s}u+V(x)u=f\bigl(x, \vert u \vert \bigr)u, \quad\text{in } {\mathbb {R}}^{N}, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>△</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mtext>in </mml:mtext><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:math> where $s\in (0,1)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> is fixed, $N>2s$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>s</mml:mi></mml:math> , $V:{\mathbb {R}}^{N}\rightarrow {\mathbb …