Sign-constancy of Green’s functions for impulsive nonlocal boundary value problems
Sign-constancy of Green’s functions for impulsive nonlocal boundary value problems
Abstract We consider the following second order impulsive differential equation with delays: $$ \textstyle\begin{cases} (Lx)(t)\equiv x''(t)+\sum_{j=1}^{p} a_{j}(t) x'(t-\tau _{j}(t)) + \sum_{j=1}^{p} b_{j}(t) x(t-\theta _{j}(t)) = f(t), \quad t \in [0, \omega ], \\ x(t_{k})=\gamma _{k} x(t_{k}-0), \quad\quad x'(t_{k})=\delta _{k} x'(t_{k}-0), \quad k=1,2,\ldots,r. \end{cases} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≡</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>″</mml:mo></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mspace /><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> …