Ground state solutions of Nehari–Pohožaev type for a kind of nonlinear problem with general nonlinearity and nonlocal convolution term
Ground state solutions of Nehari–Pohožaev type for a kind of nonlinear problem with general nonlinearity and nonlocal convolution term
Abstract In this paper, we consider the following nonlinear problem with general nonlinearity and nonlocal convolution term: $$ \textstyle\begin{cases} -\Delta u+V(x)u+(I_{\alpha }\ast \vert u \vert ^{q}) \vert u \vert ^{q-2}u=f(u), \quad x\in {\mathbb{R}}^{3}, \\ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{3}), \quad \end{cases} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where $a\in (0,3)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , $q\in …