Mating quadratic maps with the modular group II
Mating quadratic maps with the modular group II
Abstract In 1994 S. Bullett and C. Penrose introduced the one complex parameter family of (2 : 2) holomorphic correspondences $$\mathcal {F}_a$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi></mml:msub></mml:math> : $$\begin{aligned} \left( \frac{aw-1}{w-1}\right) ^2+\left( \frac{aw-1}{w-1}\right) \left( \frac{az+1}{z+1}\right) +\left( \frac{az+1}{z+1}\right) ^2=3 \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msup><mml:mfenced><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mfenced><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mfenced><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> and proved that for every value of $$a \in [4,7] \subset \mathbb …