On the Equality of Bajraktarević Means to Quasi-Arithmetic Means
On the Equality of Bajraktarević Means to Quasi-Arithmetic Means
Abstract This paper offers a solution of the functional equation $$\begin{aligned}&\big (tf(x)+(1-t)f(y)\big )\varphi (tx+(1-t)y)\\&\quad =tf(x)\varphi (x)+(1-t)f(y)\varphi (y) \qquad (x,y\in I), \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd /><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow /></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace /><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace /><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where $$t\in \,]0,1[\,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mspace /><mml:mo>]</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>[</mml:mo><mml:mspace /></mml:mrow></mml:math> , $$\varphi :I\rightarrow \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is strictly monotone, and $$f:I\rightarrow \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:math> …