On Fourth-Order Elliptic Equations of Kirchhoff Type with Dependence on the Gradient and the Laplacian
On Fourth-Order Elliptic Equations of Kirchhoff Type with Dependence on the Gradient and the Laplacian
We consider a nonlocal fourth-order elliptic equation of Kirchhoff type with dependence on the gradient and Laplacian <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mo stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:mo>∇</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn fontstyle="italic">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∇</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math>, in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>, on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mo>∂</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:math>, …