Improving Fourier Partial Sum Approximation for Discontinuous Functions Using a Weight Function
Improving Fourier Partial Sum Approximation for Discontinuous Functions Using a Weight Function
We introduce a generalized sigmoidal transformation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> on a given interval <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:math> with a threshold at <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. Using <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, we develop a weighted averaging method in order to improve Fourier partial sum approximation for …