Optimal Bounds for Gaussian Arithmetic-Geometric Mean with Applications to Complete Elliptic Integral
Optimal Bounds for Gaussian Arithmetic-Geometric Mean with Applications to Complete Elliptic Integral
We present the best possible parameters<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2,1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>such that the double inequalities<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo …