Local Dynamics and Global Stability of Certain Second-Order Rational Difference Equation with Quadratic Terms
Local Dynamics and Global Stability of Certain Second-Order Rational Difference Equation with Quadratic Terms
We present a complete local dynamics and investigate the global dynamics of the following second-order difference equation:<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0,1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo></mml:math>, where the parameters<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi></mml:math>, and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:math>are nonnegative numbers with condition<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>, and the …