A Sharp Lower Bound for Toader-Qi Mean with Applications
A Sharp Lower Bound for Toader-Qi Mean with Applications
We prove that the inequality<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>holds for all<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>with<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:math>if and only if<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">3</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">s</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>θ</mml:mi></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>/</mml:mo><mml:mo …