Bounds for Products of Zeros of Solutions to Nonhomogeneous ODE with Polynomial Coefficients
Bounds for Products of Zeros of Solutions to Nonhomogeneous ODE with Polynomial Coefficients
We consider the equation<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>″</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>is a polynomial and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>is an entire function. Let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1,2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>be the zeros of a solution<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>to that …