On the Nonlinear Fractional Differential Equations with Caputo Sequential Fractional Derivative
On the Nonlinear Fractional Differential Equations with Caputo Sequential Fractional Derivative
The purpose of this paper is to investigate the existence of solutions to the following initial value problem for nonlinear fractional differential equation involving Caputo sequential fractional derivative<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" …