Global Asymptotic Stability for Linear Fractional Difference Equation
Global Asymptotic Stability for Linear Fractional Difference Equation
Consider the difference equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>/</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0,1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo></mml:math>, where all parameters <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0,1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:math>, and the initial conditions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:math> are nonnegative real numbers. We investigate the …