Existence of a Period-Two Solution in Linearizable Difference Equations
Existence of a Period-Two Solution in Linearizable Difference Equations
Consider the difference equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> and the initial conditions are real numbers. We investigate the existence and nonexistence of the minimal period-two solution of this equation when it can be rewritten as the nonautonomous linear equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math> , …