Basins of Attraction for Two-Species Competitive Model with Quadratic Terms and the Singular Allee Effect
Basins of Attraction for Two-Species Competitive Model with Quadratic Terms and the Singular Allee Effect
We consider the following system of difference equations:<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>, </mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>, </mml:mo></mml:math>where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>are positive constants and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>are initial conditions. This system has interesting dynamics and it can have up to seven equilibrium points as …