Some New Iterated Hardy-Type Inequalities
Some New Iterated Hardy-Type Inequalities
We characterize the validity of the Hardy-type inequality<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mo stretchy="false">∥</mml:mo><mml:mo stretchy="false">∥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mtext>s</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi> </mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">∥</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi> </mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">∥</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">∥</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">∥</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math>are weight functions on<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo …