Existence and Multiplicity of Positive Solutions for a System of Fourth-Order Boundary Value Problems
Existence and Multiplicity of Positive Solutions for a System of Fourth-Order Boundary Value Problems
We study the existence and multiplicity of positive solutions for the system of fourth-order boundary value problems <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>, </mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:math> …