On the Exact Series Solution for Nonhomogeneous Strongly Coupled Mixed Parabolic Boundary Value Problems
On the Exact Series Solution for Nonhomogeneous Strongly Coupled Mixed Parabolic Boundary Value Problems
An exact series solution for nonhomogeneous parabolic coupled systems of the type<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math>, and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math>are arbitrary matrices for which the block matrix is nonsingular, and …