On Bloch-Type Functions with Hadamard Gaps
On Bloch-Type Functions with Hadamard Gaps
We give some sufficient and necessary conditions for an analytic function<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E1"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>on the unit ball<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E2"><mml:mi>B</mml:mi></mml:math>with Hadamard gaps, that is, for<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E3"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="true"><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mstyle><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>(the homogeneous polynomial expansion of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E4"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math>) satisfying<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E5"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>for all<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E6"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>ℕ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>, to belong to the space<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E7"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>ℬ</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>0</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>1</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>\|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>ℛ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>\|</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E8"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E9"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>∞</mml:mn></mml:mrow></mml:math>as well …