On a density problem of Erdös
On a density problem of Erdös
For a positive integer<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$n$"><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>, let<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$P(n)$"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>denotes the largest prime divisor of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$n$"><mml:mi>n</mml:mi></mml:math>and define the set:<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$\mathcal{S}(x) = \mathcal{S} = \{n \leq x: n \text{ does not divide }P(n)!\}$"><mml:mrow><mml:mi>𝒮</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>𝒮</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext /><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext>does not divide</mml:mtext><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext /><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math>. Paul Erdös has proposed that<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="$|S| …