A Note on Generalized Hardy-Sobolev Inequalities
A Note on Generalized Hardy-Sobolev Inequalities
We are concerned with finding a class of weight functions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:math> so that the following generalized Hardy-Sobolev inequality holds: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>∇</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>, for some <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:math> is a bounded domain in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math>. …